読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

GeoGebraコマンド辞典

GeoGebraの全コマンドを分かりやすく解説

betaRegularized(a, b, z) - 正則下側不完全ベータ関数

betaRegularized( <式a>, <式b>, <式z> )

式a,b,zに対して、正則下側不完全ベータ関数

f:id:usiblog:20170218064552p:plain

の値を計算する。betaRegularized(a, b, z)は、0<=z<=1でなければ定義されない(zがそれ以外の値をとる場合については、例2を参照)。

なお、

f:id:usiblog:20170218064628p:plain

は下側不完全ベータ関数であり、

f:id:usiblog:20170218064649p:plain

はベータ関数である。両関数については、beta( )を参照。

上記の定義より、betaRegularized(a, b, p)と以下の関数は、同値である。

beta(a,b,p) / beta(a,b)

Integral[ x^(a-1)*(1-x)^(b-1), 0, p ] / Integral[ x^(a-1)*(1-x)^(b-1), 0, 1 ]

例1

betaRegularized(2, 3, 0.5)

は、数値0.6875を返す。

f:id:usiblog:20170218072439p:plain

コメント1.1

betaRegularized(2, 3, 0.5)を、同値の関数

beta(2,3,0.5) / beta(2,3) 

および

Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 0.5 ] / Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 1 ] 

により計算した結果は、以下の通りである。

f:id:usiblog:20170218072658p:plain

コメント1.2

CASでの計算結果は、以下の通りである。厳密な評価、数値的評価の両方が利用できる。

f:id:usiblog:20170218072816p:plain

なお、CASでbetaRegularized(2, 3, 0.5)を、同値の関数

Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 0.5 ] / Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 1 ]

で計算すると、厳密な評価による計算結果を、代数的に得ることができる。

f:id:usiblog:20170218073122p:plain

 

例2

betaRegularized(a, b, p)は、p<0または1<pの場合には、定義されない。例えば、

betaRegularized(2, 3, 1.5)

は定義されない。

f:id:usiblog:20170218073922p:plain

コメント2.1

betaRegularized(a, b, p)と同値の関数

Integral[ x^(a-1)*(1-x)^(b-1), 0, p ] / Integral[ x^(a-1)*(1-x)^(b-1), 0, 1 ]

 

であれば、任意の実数pで定義することができる。例えば、betaRegularized(2,3,1.5)と同値の関数

Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 1.5 ] / Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 1 ]

は、数値1.687...を返す。

f:id:usiblog:20170218074151p:plain

コメント2.2

CASでは、p<0のとき、betaRegularized(a,b,p)には、betaRegularized(a,b,0)の計算結果(すなわち0)が割り当てられている。また、1<pのとき、betaRegularized(a,b,p)には、beta(a,b,1)の計算結果(すなわち1)が割り当てられている。これらは正しい値ではない。

例えば、

betaRegularized(2, 3, 1.5)

の数値的評価は1となる。

f:id:usiblog:20170218075019p:plain

betaRegularized(2, 3, 1.5)と同値の関数

Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 1.5 ] / Integral[ x^(2-1)*(1-x)^(3-1), 0, 1 ]

CASで計算することで、CASでもbeta(2,3,1.5)の値を求めることができる。これによって、厳密な評価による計算結果を得ることが可能となる。

f:id:usiblog:20170218075435p:plain

 

バージョン情報

Version: 5.0.328.0-webapp (12 February 2017)