GeoGebraコマンド辞典

GeoGebraの全コマンドを分かりやすく解説

psi( ) - ディガンマ関数

psi( <式> )

式xに対して、ディガンマ関数

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の値を返す。

ここで、

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は、ガンマ関数である。ガンマ関数については、gamma( )を参照。

例1

f:id:usiblog:20170217221401p:plain

f(x)=psi(x)

は、関数

f:id:usiblog:20170217221455p:plain

を作成する。

コメント1

ディガンマ関数の定義から、psi(x)と

Derivative[ln( gamma(x) )]

および

Derivative[gamma(x)] / gamma(x)

は、すべて同じ関数である。

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さらに、ディガンマ関数の積分表示

f:id:usiblog:20170217230231p:plain

より、下記の広義積分を用いた関数も、psi(a)と同値の関数として利用できる。これは、オブジェクトとして定義することはできないが、CASで使用できる。

Integral[(ℯ^(-x)/x)-( ℯ^(-a*x) )/( 1-ℯ^(-x) ),0,∞]

下図は、上記の広義積分を用いた方法により、psi(1)をCASで計算した場合の結果である。

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広義積分を用いたpsi( )の表示は、複素数を引数とした場合の値を、数値的評価により得ることができる点で有用である(例3を参照)。

 

例2

psi(1)

は、数値-0.577...を返す。

f:id:usiblog:20170217225941p:plain

コメント2

CASでは、厳密な評価、数値的評価の両方を利用できる。

f:id:usiblog:20170217230532p:plain

厳密な評価では、オイラーの定数

f:id:usiblog:20170217230857p:plain

を用いた表示が可能である。

 

例3

psi( )は、複素数を引数とすることはできない。例えば、

psi(3+2ί)

は、エラーを返す。

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コメント3

CASでは、厳密な評価、数値的評価ともに「?」を返す。

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psi(x)と同値な関数

g(x)=Derivative[ln( gamma(x) )]

または

h(x)=Derivative[gamma(x)] / gamma(x)

を定義して、g(3+2ί)、およびh(3+2ί)を計算しても、同様に「?」を返す。

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psi(3+2ί)の、広義積分による表現

Integral[(ℯ^(-x)/x)-(ℯ^(-(3+2ί)*x))/(1-ℯ^(-x)),0,∞]

は、厳密な評価は「?」を返すが、数値的評価による計算結果を得ることができる。

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バージョン情報

Version: 5.0.328.0-webapp (12 February 2017)